基本概念
两条曲线围成的区域面积可以通过积分公式计算。
面积 = \(\int_a^b [f(x) - g(x)] dx\)
= \(\int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx\)
图1：两条曲线间面积的基本概念
计算步骤
1. 找交点：确定两条曲线的交点坐标
2. 画图：画出两条曲线，标出交点
3. 确定积分限：根据交点确定积分的上下限
4. 确定上下函数：确定哪个函数在上方，哪个在下方
5. 计算积分：使用公式计算面积
6. 检查答案：确保面积为正数
Example - 基础两条曲线间面积
题目：Find the area of the region R bounded by \(y = 5 + 4x - x^2\) and \(y = \frac{x^2}{2} + 1\).
解：
积分限：1到3
Area of R = \(\int_1^3 (5 + 4x - x^2) dx - \int_1^3 (\frac{x^2}{2} + 1) dx\)
= \(\left[5x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_1^3 - \left[\frac{x^3}{6} + x\right]_1^3\)
= 11 (units²)
图2：Example 1 - 两条曲线围成的区域R
Example - 需要求交点的两条曲线
题目：Find the area bounded by \(y = 8 - 2x - x^2\) and \(y = x^2 + x + 6\).
解：
交点：\(8 - 2x - x^2 = x^2 + x + 6\)
\(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
\(x = -2\) 或 \(x = \frac{1}{2}\)
Area = \(\int_{-2}^{0.5} (8 - 2x - x^2) - (x^2 + x + 6) dx\)
= \(\int_{-2}^{0.5} (2 - 3x - 2x^2) dx\)
= \(\frac{125}{24}\)
图3：Example 2 - 曲线S和T的交点示意图
重要条件
注意：只有当两条曲线在积分区间内不相交时，才能使用这个公式。
Watch out: You can only use this formula if the two curves do not intersect between a and b.
练习题精选
1. \(y = 2x^2 - 8x - 10\) 与 \(y = \frac{x^2}{2} - 2x - 1\) 围成的面积 = 8
2. \(y = x^2\) 与 \(y = 2x^2 - 25\) 围成的面积 = \(\frac{250}{3}\)
3. \(y = 2x^2 - 6\) 与 \(y = 10 - 2x^2\) 围成的面积 = \(\frac{128}{3}\)
4. \(y = x^3 + x^2\) 与 \(y = 2x^2 + 2x\) 围成的面积 = \(\frac{13}{4}\)
5. \(y = x^2 - 5x + 7\) 与 \(y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 7\) 围成的面积 = \(\frac{125}{12}\)
常见错误
• 忘记求交点
• 积分限确定错误
• 上下函数判断错误
• 符号处理错误
解题技巧
• 总是先画图
• 找交点作为积分限
• 选择合适的计算方法
• 检查答案必须为正数